推定

標本から計算した1つの値で母数をズバリ当てるのが点推定です。まずは「何を当てるのか」からです。当てる相手は母数です。母集団を特徴づける真の数値で、下のように何種類かあり、どれも未知です。それぞれに「いちばん素直な候補」があります。

同じ母数でも「当て方」は1つじゃない

上の表は「いちばん素直な候補」にすぎません。じつは同じ母数を当てる方法（推定量）は何通りもあります。具体例で見ましょう。

候補が複数あるなら、その中から選ぶ「良い推定量」の物差しが要ります。良い推定量とは、ひとことで言えば「何度も標本を取り直したとき、母数を正確に・安定して射抜く」ものです。その良さを、次の3つの観点で測ります。

• 不偏性：狙いがズレていないか（平均すると母数に当たる）
• 一致性：データを増やすほど母数に近づくか
• 有効性：当たりのばらつきが小さいか

不偏性：平均すると的のド真ん中

推定量も標本ごとに変わる確率変数です。何度も標本を取り直して推定値を集めたとき、その平均がちょうど母数に一致するなら、その推定量は不偏（バイアスなし）です。式では $E[\text{推定量}]=\text{母数}$ です。的当てでいうと「狙いがズレていない」状態です。

一致性：データを増やせば真の値に吸い寄せられる

標本サイズ $n$ を大きくするほど、推定値が母数に限りなく近づく性質が一致性です。標本平均なら、標準誤差 $\sigma/\sqrt{n}$ が $n\to\infty$ で $0$ に近づく（＝大数の法則）ので、$\bar{x}$ は $\mu$ に集中していきます。

有効性：同じ不偏なら、ばらつきが小さいほど良い

不偏な推定量が複数あるとき、分散がいちばん小さいものが優秀で、これを有効と呼びます。的の中心は同じでも、散らばりが小さいほど1回の推定が当たりやすいからです。

ここで、最初の「平均 vs 中央値」に決着がつきます。正規母集団では、標本平均も標本中央値もどちらも不偏です（平均すれば $\mu$）。
※ 歪んだ母集団では 母平均 ≠ 母中央値 なので、この勝負自体が成り立ちません。標本中央値は $\mu$ とは別の場所を狙うことになり、$\mu$ の推定量としては不偏ですらなくなります。

そのうえで差がつくのがばらつきです。同じ $n$ でも、標本中央値は標本平均より約1.5倍ばらつきやすくなります（分散が大きい）。つまり上の図の右側が標本中央値、左側が標本平均です。だから母平均の標準的な推定量は標本平均なのです。

最尤法（さいゆうほう）：「いちばんありそうな母数」を選ぶ

母数を点推定する代表的な方法が最尤法です。「手元のデータがいちばん出やすくなるような母数」を、その母数の推定値に採用します。

「支持率は $41\%$」と1点で言われても、それが $\pm 1\%$ の話か $\pm 10\%$ の話かで意味がまるで違います。点推定は必ず多少は外れるのに、その外れ幅を語らないのが弱点です。そこで「このあたりに母数がある」と幅で示すのが区間推定、その区間が信頼区間です。

支持率（%）のような比率でも、成人男性の平均身長（cm）のような平均でも、信頼区間の求め方は同じです。ただし、平均と比率では標準誤差の計算方法が異なります。詳しくは 3（母平均）・4（母比率）で扱います。

では、幅はどれくらいに取ればいいのでしょうか。これはこちらで決めます。「この手順で区間を作ったとき、どれくらいの割合で母数を含んでほしいか」を先に指定するのです。この割合を信頼度（信頼水準）といい、慣習的に $95\%$ がよく使われます。そうして作った区間が95%信頼区間です。
信頼度を上げるほど、上の式の信頼係数が大きくなり、区間の幅は広がります（確実に当てたいなら、その分だけ大ざっぱな答えになる）。

信頼度95%の「正しい意味」

バスケのフリースローで考えると分かりやすくなります。
あるプロ選手は、フリースローを95%の確率で決める超人的な精度を持っているとします。この選手が1本打つことが、標本を1つ取って区間を作ることに対応します。

つまり 95% は「選手の決定率」＝ 区間の作り方（手順）の性能です。同じ手順を何度も繰り返せば、作った区間の約95%が $\mu$ を含みます。これが信頼度95%の意味です。

ここで、打つ前にガヤが「これから打つシュートが入る確率は95%だ」と言うのは、誰がどう見ても正しいです。
同じように、標本を取る前に「これから作る区間が $\mu$ を含む確率は95%だ」と言うのも正しいです。ここは争いになりません。

問題はその先です。選手がすでにシュートを放ち、ボールが手を離れて空中にあるときです。「このシュートが入る確率は95%だ」と言えるでしょうか。
これが、すでに標本を取って $[48,\ 52]$ と計算し終えた区間を見て「ここに95%の確率で $\mu$ が入る」と言う行為にあたります。ここで解釈が2つに分かれます。

なお、バスケならシュートが入ったかどうかは目で見えますが、区間が $\mu$ を含んだかどうかは確認できません。真の $\mu$ を知らないからです（知っていれば推定はいりません）。また、この95%はデータを見る前の約束なので、都合のいい結果だけを選んで報告したり、データを見てから区間の作り方を変えたりすると、95%という保証は崩れます。

言葉だけだと分かりにくいので、実際に「同じ手順」で100本の95%信頼区間を作ってみます。何本が母平均 $\mu$ を含むでしょうか。

第6章より、$\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\ \sigma^2/n\right)$ です。標準化すると $\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ で、その値が $\pm 1.96$ に収まる確率が $95\%$ です（第5章の確率表）。これを $\mu$ について解くだけで、母平均の95%信頼区間が出ます。

① 母分散 σ が既知のとき（正規分布）

② 母分散 σ が未知のとき（t分布）

現実には $\sigma$ も不明なことがほとんどです。$\sigma$ の代わりに不偏標準偏差 $s_u$ を使うと、第6章で見たとおり分布は正規分布より裾が太い自由度 $n-1$ の t分布になります。だから係数 $1.96$ を $t$ 値に置き換えます。

$t_{0.025,\,n-1}$ は「自由度 $n-1$ の t分布で、上側 $2.5\%$ の点」です。$\sigma$ が不確実なぶん $1.96$ より大きく、区間は少し広くなります。$n$ が大きいほど $t$ は $1.96$ に近づきます。

使い分けフローチャート

賛成/反対、当たり/外れのような割合を推定したいとします。標本比率 $\hat{p}$ は、$n$ が大きければ第6章より $\hat{p}\approx N\!\left(p,\ \dfrac{p(1-p)}{n}\right)$ に従います。標準誤差の $p$ は未知なので $\hat{p}$ で代用すると、母比率の信頼区間が作れます。

中心（平均）ではなくばらつき（分散）そのものを区間で推定したい場面です。品質管理で「製品の分散が規定内か」などです。第6章の関係 $\dfrac{(n-1)s_u^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$ を使って、$\sigma^2$ を挟み込みます。

相関係数の区間推定：フィッシャーの $z$ 変換

第2章で計算した相関係数 $r$ も、標本から求めた「推定値」です。30人分のデータで $r=0.6$ と出ても、別の30人なら $0.5$ かもしれないし $0.7$ かもしれません。母集団での相関係数 $\rho$（ロー）はどの範囲にあるのか、これも区間で答えたいところです。

ところが $r$ には、平均のときにはなかった厄介な性質があります。$-1$ と $1$ に壁があることです。$\rho=0.8$ のとき、$r$ は上には $1$ までしか動けないのに下には大きく動けるので、$r$ の分布は左に歪みます。正規分布の形をした「$\pm 1.96 \times$ 標準誤差」は使えません。

※ 区間に $0$ が入らなければ「母集団でも無相関ではない」と言えます（第8章の検定と表裏一体の関係です）。試験では $\ln$ や $e^{2z}$ の値は問題文か数表で与えられます。

実務では「1つの母数」より「2群の差」を知りたいことが多いです。新薬と旧薬の効果差、A店とB店の平均売上差などです。点推定は素直に $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ です。あとはその差の標準誤差に係数を掛けて幅をつけます。

たとえば、こんな場面です。
・A店の日商：$25$ 日分を集計 → 平均 $52.0$ 万円、不偏標準偏差 $8.0$ 万円
・B店の日商：$25$ 日分を集計 → 平均 $46.0$ 万円、不偏標準偏差 $6.0$ 万円
見えている差は $6.0$ 万円です。でもこれはたまたま集計した25日ぶんの差にすぎません。知りたいのは「この2店の実力の差は、結局どのくらいなのか」です。それを幅で答えるのがこの節です（計算はこの後で）。

ルートの中身が $\dfrac{s_{u1}^2}{n_1}+\dfrac{s_{u2}^2}{n_2}$ になる理由を、2段階に分けます（$s_{u1}^2,\ s_{u2}^2$ は各群の不偏分散）。

① $\dfrac{s_{u1}^2}{n_1}$ は「A群の標本平均のばらつき」
第6章で、標本平均のばらつきは $V[\bar{X}]=\dfrac{\sigma^2}{n}$、その平方根が標準誤差 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ でした。つまり $\dfrac{\sigma^2}{n}$ は標準誤差の2乗＝標本平均の分散です。$\sigma$ は未知なので不偏分散 $s_u^2$ で代用すると $\dfrac{s_{u1}^2}{n_1}$ です。これが式の中身の正体で、データそのもののばらつきではなく「$\bar{x}_1$ という1個の値がどれだけ揺れるか」を表しています。

② 引き算なのに、ばらつきは足し合わさる
2群が独立なら $V[\bar{X}_1-\bar{X}_2]=V[\bar{X}_1]+V[\bar{X}_2]$ です。引き算なのに足すのは直感に反しますが、こう考えると腑に落ちます。
A店の平均が偶然高めに出て、同時に B店の平均が偶然低めに出ると、その差 $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ は本当の差より大きく出ます。逆に A店が低め・B店が高めなら、本当の差より小さく出ます。どちらにしても2つの誤差は打ち消し合わず、積み上がります。
独立とは「互いに無関係」ということなので、都合よく相殺してくれる保証がないのです。だから引き算でも、揺れの量（分散）は足します。最後に $\sqrt{\ }$ を取って標準誤差に戻します。

最後に、2群の「ばらつきの違い」を区間で見積もる方法です。差ではなく比で見るところがポイントです。$\sigma_1^2/\sigma_2^2$ が $1$ なら等分散、$1$ から離れるほどばらつきが違います。第6章で見たとおり、2つの不偏分散の比は $F$ 分布に従うので、それを使って区間を作ります。

ここまでは「$n$ 人調べたら誤差はいくつ」でした。実務では逆です。「誤差を ±$E$ 以内に抑えたい。$n$ は最低いくつ必要？」という問いです。誤差幅 $E=z\cdot\sigma/\sqrt{n}$ を $n$ について解くだけです。