第1章 1変数データ｜目で見て分かる統計検定2級

1

データの種類と尺度

「どんな数値か」によって、使える統計操作が変わる

データを集めたとき、まず考えなければならないのが「このデータは何尺度か？」という問いです。尺度によって「平均を取っていいか」「順序に意味があるか」が決まります。

名義尺度

分類するだけ。順序も大小もない。

例: 血液型(A/B/O/AB)・都道府県・性別・野球チームの背番号

背番号10番は9番より「大きい」わけではありません。あくまで識別のための記号です。

✓ 度数・最頻値 ✗ 平均 ✗ 大小比較

順序尺度

順序に意味がある。でも間隔は均等でない。

例: 満足度(とても満足 / 満足 / 普通 / 不満)・成績ランク(A/B/C)・辛さレベル

「とても満足」と「満足」の差＝「満足」と「普通」の差、とは言えません。

✓ 順位・中央値 ✓ パーセンタイル ✗ 平均（本来は不可）

間隔尺度

間隔が均等。ただし絶対的なゼロがない。

例: 気温（℃）・西暦年・IQスコア

「20℃は10℃の2倍暑い」とは言えません（0℃は「熱さのゼロ」ではない）。でも「20℃は10℃より10度高い」はOKです。

✓ 平均・標準偏差 ✓ 差の比較 ✗ 比率の比較

① 「暑い・寒い」しかなかった時代

昔から人は、熱い・冷たい、暑い・寒いを感じてはいました。
でもそれは体感でしかありません。どこが上限でどこが下限かも分かりません。「今日は昨日より暑い」は言えても、数字にはできませんでした。

② 水だけが、いつも同じところで変化してくれた

そんな中、身近な水には心当たりがありました。
ある冷たさまでいくと固まります。ある熱さまでいくと沸いて気体になります。しかもそれは、誰がいつやっても同じところで起きます。
→ 得体は知れませんが、目印になる2点が見つかりました。

③ 目印に「0」と「100」を貼った（1742年・セルシウス）

そこで人間はこう決めました。「水が凍るところを 0、沸くところを 100 にしよう」。
間は自動的に100等分され、はじめて温度が数字で扱えるようになりました。
※ 実はセルシウス本人は最初、0＝沸点／100＝凝固点と逆向きに決めていました。死後に反転されて今の形になっています。
ひっくり返しても平気だったという事実が、「この 0 に必然性はない」証拠になっています。

④ 時が流れ、「本当の下限」が見つかる

やがて気体の研究が進み、こんな性質が分かりました。冷やせば冷やすほど、気体の体積は一直線に縮みます。
では、その直線をどんどん延長したらどうなるでしょうか？体積がゼロになる点にぶつかります。それ以上は冷やしようがありません。
こうして「温度には絶対的な下限がある」と分かりました。直接測ったのではなく、グラフの直線を延長して見つけたのがポイントです。
その下限を、みんなが使っている水基準の目盛りで表すと、−273.15℃です。

⑤ 困った。本当の下限なのに、数字が 0 じゃない

絶対的な下限なら、数字も 0 であってほしいところです。でも水基準の ℃ はもう世の中に定着していて、いまさら捨てられません。
→ そこで目盛りの幅（1度の大きさ）はそのままにして、原点だけを絶対零度に引っ越した新しい単位を作りました。それがケルビン（K）です。
K ＝ ℃ + 273.15（1K の幅＝ 1℃ の幅）

℃ と K は同じ物差しです。原点の位置だけが違います。

⑥ だから「20℃は10℃の2倍暑い」は成り立たない

本当に2倍かどうかは、本当のゼロから測り直せばすぐ分かります。絶対温度（K）で計算してみる：

20℃ ＝ 293.15 K、10℃ ＝ 283.15 K
比を取ると $\dfrac{293.15}{283.15} \approx 1.035$ → たった 3.5% しか違いません。2倍どころではありません。
「2倍」に見えたのは、水が凍る点をゼロと呼んでいたせいだけでした。

いっぽう差はどうか：
℃で見ると $20 - 10 = 10$、Kで見ると $293.15 - 283.15 = 10$ → どちらも同じ 10 です。
原点をずらしても差は変わりません。だから差の比較だけは安全に使えます。

⑦ これがまさに「間隔尺度」

ケルビンが作ったとき、目盛りの幅は ℃ のまま、動かしたのは原点だけでした。
これは裏を返せば、℃ は「間隔」は正しかったものの、「原点」だけが人間の都合だったということです。

✓ 間隔が均等 → 差・平均・標準偏差は使える
✗ 原点が人間の都合 → 比率（○倍）は使えない

この「間隔だけ信用できる」状態が間隔尺度です。
そして原点を本物のゼロに直したケルビン（K）は比例尺度になります。同じ「温度」でも、単位が変われば尺度が変わります。

同じ構造の仲間：西暦年（1年は「時間の始まり」ではなく、ある人物の生誕を人間が原点に決めただけ → 2000年は1000年の2倍ではない）、IQスコア（平均が100になるよう人間が決めた → IQ140はIQ70の2倍賢いわけではない）。

比例尺度

絶対的なゼロがある。すべての演算が可能。

例: 身長・体重・年収・距離・時間・反応時間(ms)

「180cmは90cmの2倍」「年収600万円は300万円の2倍」と言えます。0は「量が何もない」を意味します。

✓ すべての統計量 ✓ 比率の比較 ✓ 変動係数

尺度は名義 → 順序 → 間隔 → 比例の順に「できること」が増えていきます。比例尺度のデータには名義尺度の操作（分類・度数）もそのまま使えます。

2

分布を「見る」

以下のデータはクラス30人の数学テストの点数です。パッと見て分かることはありますか？

42, 55, 58, 62, 65, 65, 67, 68, 70, 71,
72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81,
82, 85, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 100

数字の羅列だと、全体の傾向は全くつかめません。

度数分布表にしてみる

まず「何点台が何人いるか」をまとめます。

階級（点）	度数（人）	相対度数	累積相対度数
40〜50未満	1	0.033	0.033
50〜60未満	2	0.067	0.100
60〜70未満	5	0.167	0.267
70〜80未満	10	0.333	0.600
80〜90未満	7	0.233	0.833
90〜100以下	5	0.167	1.000
合計	30	1.000	—

※ 相対度数 = 度数 ÷ 全体（30）　累積相対度数 = その階級までの相対度数の合計

ヒストグラムにすると一目瞭然

階級幅を変えると、見え方がどう変わるか試してみましょう。

ヒストグラム（ビン幅を変えてみる）

階級幅： 10点

ヒストグラム以外の見せ方：幹葉図・累積度数グラフ・円グラフ

同じデータでも、知りたいことによって向いているグラフが変わります。ヒストグラム以外に3つ、試験で名前が出るものを同じ30人の点数で見ておきます。

左の幹葉図は、十の位を「幹」、一の位を「葉」にして数字をそのまま並べたものです。横に倒すとヒストグラムと同じ形になり、しかも元の値（42点、55点…）が消えません。中央の累積相対度数グラフは、度数分布表の右端の列を折れ線にしたもので、「70点未満の人は全体の 26.7%」のように「ある値以下の割合」が一目で読めます。右の円グラフは、質的データ（血液型など）の割合を見るときに使います。

目安として、元の値を残したまま形を見たいなら幹葉図、「何点以下が何%か」を読みたいなら累積度数グラフ、カテゴリごとの割合なら円グラフ、それ以外の量的データの形はヒストグラム、と使い分けます。

分布の「形」3パターン：曲線で見る

データを多く集めて細かく描くと、ヒストグラムは滑らかな曲線の形に近づきます。この曲線が「分布の形」です。代表的な3パターンを見ましょう。
※ カード内の「歪度（わいど）」は形を数値で表す指標です。6 で定義するので、ここでは形のイメージだけつかめばOKです。

① 左右対称（正規型）

歪度 = 0 釣鐘型正規分布

平均＝中央値＝最頻値

例：身長・体重・標準的なテスト点数

② 右に裾が長い（正の歪み）

歪度 > 0 右に裾が長い右に歪んだ左に偏った

最頻値 < 中央値 < 平均

→ 右側の少数の大きな値が平均を引き上げる

例：年収・資産・住宅価格・反応時間

③ 左に裾が長い（負の歪み）

歪度 < 0 左に裾が長い左に歪んだ右に偏った

平均 < 中央値 < 最頻値

→ 左側の少数の小さな値が平均を引き下げる

例：満点近いテスト・寿命（先進国）

歪み（ゆがみ）の覚え方

左に山があるのに「右に歪んだ」と呼ぶのは、直感に反します。右側には何もないので。
そこで、その何もない側に歪みのかたまりであるブラックホールがあると考えてみてください。

ブラックホールが時空を歪めて、分布が逆側に寄って伸びているとイメージすると覚えやすいです。

山の数で分けることもあります。山が1つなら単峰、2つ以上なら多峰（2つなら双峰）と呼びます。多峰は「性質の違う集団が混ざっているサイン」で、たとえば男女混合の身長は、女性の山と男性の山が重なって双峰になります。山がなく平らな形は一様です。

ヒストグラムに山が2つ見えたら、平均や標準偏差を出す前に「2つの集団が混ざっていないか」を疑います。混ざったまま平均を出しても、どちらの集団も代表しない値になります。

3

中心（代表値）

データの「真ん中」を1つの数で表す

まとめ：分布を要約する3つの観点

前の節では分布を図で「眺め」ました。ここから先は分布を 3つの軸で数値化 していきます：

中心：分布の真ん中はどこか → 今ここ（3）
広がり：分布の散らばり具合 → 4
形：対称か歪んでいるか／とがっているか平坦か → 6

※ 間に挟まる 5（標準化）は、「形」を数値にするための道具（zスコア）を準備するステップです。

代表値とは、たくさんのデータを1つの数値で要約するものです。

平均値（算術平均）

公式

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

平均はシーソーの「釣り合いポイント」
データを重りだと思うと、平均値の位置にシーソーの支点を置けばちょうど釣り合います。

中央値（メジアン）

データを小さい順に並べたとき、ちょうど真ん中の値です。

小さい順に並べて、真ん中の人を探す

データ数 $n$ が奇数：ちょうど $\frac{n+1}{2}$ 番目の値
データ数 $n$ が偶数：$\frac{n}{2}$ 番目と $\frac{n}{2}+1$ 番目の平均

平均は「値の大きさ」で、中央値は「順位」で決まる
真ん中の人さえ分かれば、両端の人が何点でも中央値は同じです。だから外れ値に引っ張られません（このあと確認します）。

最頻値（モード）

データの中で最も頻繁に出てくる値です。数値データより、カテゴリデータ（血液型、趣味など）でよく使います。

様々な平均：目的別バリエーション

「平均」と聞いたら算術平均を思い浮かべますが、扱う量の性質によって使い分けるべき平均が3種類あります。

① 加重平均（Weighted Mean）：重要度が違うデータを平均する

公式

$$\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$

各データ $x_i$ に重み $w_i$ を掛けて合計し、重みの合計で割ります。重みが全部1なら通常の算術平均と一致します。

具体例：単位数の違う科目の GPA

数学（4単位）80点、英語（3単位）70点、体育（1単位）60点です。
算術平均：$(80+70+60)/3 = 70$ 点
加重平均（単位数を重みに）：$\dfrac{4 \cdot 80 + 3 \cdot 70 + 1 \cdot 60}{4+3+1} = \dfrac{590}{8} = $ 73.75 点
→ 重い科目（単位数の多い数学）の点数がより強く反映されます。

② 幾何平均（Geometric Mean）：成長率や倍率を平均する

公式

$$\bar{x}_G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

幾何平均は「掛けて $n$ 乗根」です。成長率（×1.10, ×1.20, ×0.90 など）のような掛け算で積み上がる量に使います。

具体例：3年間の売上成長率の平均

1年目 +30%（×1.30）、2年目 +20%（×1.20）、3年目 −10% です（×0.90）。
3年で売上は $1.30 \times 1.20 \times 0.90 = 1.404$ 倍になります。では、1年あたり何倍でしょうか？
算術平均：$(30 + 20 - 10)/3 = +13.3\%$ → これだと「毎年13.3%ずつ成長」になり $1.133^3 = 1.45$ 倍です。実際の 1.404 倍と合いません。
幾何平均：$\sqrt[3]{1.30 \times 1.20 \times 0.90} = \sqrt[3]{1.404} \approx 1.1198$ → 年率約 11.98% です。これなら $1.1198^3 = 1.404$ 倍で一致します。

③ 調和平均（Harmonic Mean）：速度・効率を平均する

公式

$$\bar{x}_H = \frac{n}{\sum \dfrac{1}{x_i}}$$

調和平均は「逆数の算術平均の逆数」です。同じ量を割って得られる比率（速度＝距離/時間など）に使います。

具体例：往復路の平均速度

同じ道を往路 60 km/h、復路 40 km/h で走りました。平均速度は？
算術平均（誤）：$(60+40)/2 = 50$ km/h
調和平均（正）：$\dfrac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} = \dfrac{2}{\frac{2+3}{120}} = \dfrac{2 \times 120}{5} = $ 48 km/h

距離を120 kmとすると往路2時間 + 復路3時間 = 5時間で 240 km → 平均 48 km/h で一致します。「遅い方に引っ張られる」のが調和平均の特徴です。

3つの平均の使い分け早見表

名前	計算	使う場面	大小関係
算術平均	足して割る	普通の量（点数、身長など）	算術 ≥ 幾何 ≥ 調和（正の値のとき）
幾何平均	掛けて $n$ 乗根	成長率・倍率（経済成長、複利）
調和平均	逆数の算術平均の逆数	比率・速度（km/h、燃費）

外れ値があるとどうなる？

「外れ値（他の値と大きく離れたデータ）」があると、平均値は大きく変わるのに、中央値はほとんど動かないという特徴があります。

外れ値シミュレーター

8人のクラスのテスト点数: 60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85

平均値

—

点

中央値

—

点

データ数

8

人

⚠️ 現実の例：平均年収 vs 中央値年収

日本の給与所得者の平均年収は約460万円ですが、中央値は約360万円です（出典：国税庁「民間給与実態統計調査」。平均は公表値、中央値は同調査の階級別分布から推計した値です）。少数の超高収入者が平均を引き上げているため、「自分は平均以下」と感じる人が多数派になります。
→ このようなケースでは中央値のほうが「実態」を反映しています。

✅ 平均値が適している場面

外れ値がないとき
数学的計算に使うとき（分散などは平均から計算）
データが対称分布のとき

✅ 中央値が適している場面

外れ値があるとき（年収・地価など）
分布が左右非対称のとき
「典型的な値」を知りたいとき

4

広がり（散らばり）

「平均が同じ」でも、バラつきが違えば全然違うデータ

具体例：2つのクラスのテスト点数

クラスA（バラつき小）

60, 65, 70, 75, 80

平均 = 70点

クラスB（バラつき大）

40, 55, 70, 85, 100

平均 = 70点

→ 平均は同じ70点なのに、クラスの様子は全然違います。バラつきを表す指標が必要です。

範囲（レンジ）

一番素朴な指標として、範囲（＝最大値 − 最小値）があります。クラスAは $80-60=20$ 点、クラスBは $100-40=60$ 点です。一瞬で計算できる反面、両端の2つの値だけで決まるため、外れ値が1つあるだけで激変し、間のデータの散らばり方は完全に無視されます。
→ 「全データを使って散らばりを測りたい」。そこで分散を使います。

分散（バリアンス）と標準偏差

公式

$$\text{分散}\quad s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$ $$\text{標準偏差}\quad s = \sqrt{s^2}$$

分散のイメージ：平均からの距離を一辺にした正方形

データ 10, 11, 14, 17, 23（平均 15）。各データから平均までの距離を一辺とする正方形を描くと…

正方形の面積は 25, 16, 1, 4, 64 です。その平均 $(25+16+1+4+64)\div5 = 22$ が分散です。
面積22の正方形（点線）の一辺 $\sqrt{22} \approx 4.7$ が標準偏差です。

「分散」の直感的な意味：
各データと平均の「距離」を二乗したものの平均です。「距離の二乗 = 正方形の面積」なので、「面積の平均」とも言えます。面積が大きいほどバラつきが大きくなります。
ただし分散は単位が2乗になってしまう（点なら「点²」）ので、元の単位に戻すため平方根をとったものが標準偏差です（SD＝Standard Deviation）。「正方形の面積＝分散」なら「正方形の一辺の長さ＝標準偏差」にあたります。
表記の約束：本文では「標準偏差」、数式では記号 $s$（分散は $s^2$）、グラフのラベルなど狭い場所では「SD」と書きます。実務のツールや論文でも SD 表記が標準なので、セットで覚えてください。

クラスA vs クラスB

さっきの正方形を、平均が同じ70点の2クラスで描くと…

クラスA：60, 65, 70, 75, 80

平均 70 分散 s² = 50 SD ≈ 7.07

クラスB：40, 55, 70, 85, 100

平均 70 分散 s² = 450 SD ≈ 21.21

→ 両者とも平均は70点です。でもクラスAは平均からだいたい7点、クラスBはだいたい21点ずれます。
標準偏差は「平均からのズレの、だいたいの大きさ」です。

計算ステップ（クラスAで確認）

平均を計算する：$\bar{x} = 70$
各データと平均の差（偏差）を求める
偏差を二乗する（マイナスを消す＆大きな差を強調）
偏差の二乗を合計して $n$ で割る → 分散
分散の平方根 → 標準偏差（元のデータと同じ単位になる）

$x_i$	偏差 $x_i - \bar{x}$	偏差の二乗 $(x_i-\bar{x})^2$
60	-10	100
65	-5	25
70	0	0
75	+5	25
80	+10	100
合計	0（常にゼロ！）	250

分散 $s^2 = 250 \div 5 = \mathbf{50}$　　標準偏差 $s = \sqrt{50} \approx \mathbf{7.07}$点

⚠️ 不偏分散（$n-1$ で割る）との違い

標本データから母集団の分散を推定するには $n-1$ で割る「不偏分散」 を使います（第6章で詳しく）。本サイトでは両者を記号で区別し、標本分散を $s^2$（÷$n$）、不偏分散を $s_u^2$（÷$(n-1)$）と書きます（$u$ は unbiased＝不偏）。
統計検定2級では問題文をよく読み「$n$ で割るか $n-1$ で割るか」を確認しましょう。

四分位数と箱ひげ図（ボックスプロット）

データを4等分するポイントが四分位数です。

Q1（第1四分位数）

下位25%の点です。「下から4分の1」の位置

Q2（中央値）

ちょうど真ん中50%の点です。中央値と同じ

Q3（第3四分位数）

上位25%の点です。「上から4分の1」の位置

四分位範囲（IQR）

$$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$$

IQRは「真ん中50%のデータが収まる幅」です。外れ値の影響を受けにくい散らばりの指標です。

箱ひげ図：クラスA vs クラスB

箱の中が「中央50%」の範囲、線が中央値、ひげが最大・最小を表す

五数要約と「外れ値」の判定基準（1.5×IQR ルール）

箱ひげ図は5つの数値で決まります。この5つを五数要約（five-number summary）と呼びます。

最小値
$\min$

第1四分位
$Q_1$

中央値
$Q_2$ (Med)

第3四分位
$Q_3$

最大値
$\max$

箱ひげ図の構造（厳密な定義）：
・箱：$Q_1$ から $Q_3$ まで（＝中央50%）
・箱内の線：中央値 $Q_2$
・ひげ：最遠の「外れ値でないデータ」まで（後述の 1.5×IQR ルールで決まる）
・点：ひげの外にあるデータ = 外れ値として個別表示

1.5×IQR ルール：「外れ値」の客観的な定義

「他のデータより明らかに離れているか」を主観で決めるのではなく、IQR を物差しにした客観基準を使います：

外れ値（潜在的）の判定

次のどちらかに該当するデータは「外れ値」とみなす：
・$x < Q_1 - 1.5 \cdot \text{IQR}$（下限ライン未満）
・$x > Q_3 + 1.5 \cdot \text{IQR}$（上限ライン超）

1.5×IQR ルールを箱ひげ図で見る

ひげは「下限・上限ライン以内の最遠データ」までです。それを超えるデータ点が外れ値です。

具体例：あるテスト点数

点数：15, 60, 65, 68, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 98 （11人）
$Q_1 = 65$、$Q_3 = 80$、$\text{IQR} = 80 - 65 = 15$
下限ライン：$65 - 1.5 \times 15 = 42.5$ → 15点は外れ値
上限ライン：$80 + 1.5 \times 15 = 102.5$ → 98点は範囲内

変動係数（CV）

公式

$$CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$$

使い道：単位が違うデータのバラつきを比較したいとき。
例：身長（cm）と体重（kg）の「バラつき具合」を比べたい場合、標準偏差の単位が違うので直接比較できません。CVは「平均の何%のバラつきか」という無次元の比率なので比較できます。

具体例：身長と体重、どちらの方がバラつきが大きい？

ある集団のデータ：

変数	平均 $\bar{x}$	標準偏差 $s$	CV = $\dfrac{s}{\bar{x}} \times 100$
身長	170 cm	5 cm	$\dfrac{5}{170}\times 100 \approx$ 2.94%
体重	60 kg	8 kg	$\dfrac{8}{60}\times 100 \approx$ 13.33%

標準偏差だけ見ると：体重 8kg vs 身長 5cm です。単位が違うので比較不可能です。
CV で比べると：身長 2.94% vs 体重 13.33% → 体重のほうが約4.5倍バラつきが大きいと言えます。

もう一つの例：株価のリスク比較

A社の株価：平均 1000円、標準偏差 100円 → CV = 10%
B社の株価：平均 50円、標準偏差 8円 → CV = 16%
→ B社のほうが「株価が変動しやすい（リスクが大きい）」と分かります。標準偏差の値（100円 vs 8円）だけ見ると、誤って「A社の方が動いている」と判断してしまいます。

⚠️ CVが使えないケース

CV は 平均が0に近い、または負の値を取りうるデータには使えません（割る数が小さすぎたり、符号が逆転すると無意味）。
気温（℃）や利益率など「正負どちらにもなりうる量」は比例尺度ではないのでCVは不適切です。CVが意味を持つのは、年収・身長・距離など「比例尺度のデータ」だけです。

指数化：基準を100にそろえて比べる

売上が 1,200万円から 1,500万円に、来客数が 800人から 1,000人に増えました。どちらの伸びが大きいでしょうか。「万円」と「人」では目盛りが違うので、そのままでは比べられません。変動係数のときと同じ発想で、単位を消してしまいます。

指数化

$$\text{指数} = \frac{\text{値}}{\text{基準の値}} \times 100$$

基準にした値（基準年、基準時点）を 100 とし、ほかの値を「基準の何%か」で表します。

売上は $1500 \div 1200 \times 100 = 125$、来客も $1000 \div 800 \times 100 = 125$ です。指数にそろえると2本の線がぴったり重なり、伸びは同じ 25% だと分かります。

指数化は時系列で複数の系列を比べるときの定番で、消費者物価指数（CPI）が代表例です。7 で成長率とセットでもう一度使います。

5

標準化と偏差値

「異なる試験の点数」を同じ土俵で比べる方法

こんな疑問から始まります

Aさんは数学で72点、Bさんは英語で72点を取りました。
どちらが「クラスの中で優秀」だったのでしょうか？
（数学：クラス平均60点・標準偏差10点／英語：クラス平均78点・標準偏差6点）

点数が同じでも、クラスの平均や散らばり方が違えば意味が違います。そこで「クラス内での位置」を同じ尺度で表すのが標準化（z変換）です。

z スコア（標準化スコア）

$$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$$

「自分の点がクラス平均より何標準偏差分上（下）か」を示します。z=0 が平均、z=1 なら平均より標準偏差1個分上です。

なぜ「平均を引く」のか、なぜ「標準偏差で割る」のか、公式の意味を分布図で見てみましょう。z変換は、異なる平均・異なる散らばりを持つ複数の分布を、すべて「同じ位置・同じ形」に揃えるための2段階の操作です。

z変換の2ステップ（3つの分布を「重ねる」プロセス）

⚠️ 標準化しても「分布の形」は変わらない：年収のような歪んだデータでも使える

上の3つは左右対称の分布でしたが、年収のように右へ歪んだ分布でも標準化はできます（各値から平均を引いて標準偏差で割るだけの操作だから）。ただし、そろうのは中心と幅だけです。歪み（形）はそのまま残ります。

中心と幅はそろいますが、右に裾を引いた形はそのままです。

→ だから「標準化＝正規分布（釣鐘型）になる」ではありません。標準正規分布 $N(0,1)$ になるのは、元がもともと正規分布だったときだけです。この先の「偏差値 → 上位何%」も、元が正規分布に近いことを前提にした目安で、強く歪んだデータでは実際の割合とズレます。

偏差値（T スコア）

$$\text{偏差値} = 50 + 10z = 50 + 10 \times \frac{x - \bar{x}}{s}$$

z スコアを「平均50・標準偏差10」の尺度に変換したものです。日本の入試でお馴染みの指標です。

Aさん（数学72点）

$z = \dfrac{72 - 60}{10} = \mathbf{+1.2}$
偏差値 $= 50 + 10 \times 1.2 = \mathbf{62}$

✅ クラス平均より1.2SD上！優秀

Bさん（英語72点）

$z = \dfrac{72 - 78}{6} = \mathbf{-1.0}$
偏差値 $= 50 + 10 \times (-1.0) = \mathbf{40}$

⚠️ クラス平均より1SD下…

→ 同じ72点でも、Aさんの方がクラス内では優秀だったことが分かります。

偏差値・zスコア計算機

自分の偏差値を計算してみよう

自分の点数 $x$

クラス平均 $\bar{x}$

標準偏差 $s$

z スコア

+1.20

偏差値

62

上位何%？

12%

グラフは正規分布を仮定（実際の分布とは異なる場合があります）

6

分布の形（歪度・尖度）

3観点の最後：分布の「形」を1つの数値に圧縮する

2 で「右に裾が長い」「左に偏っている」などを絵で見ました。ここではその「形」を数値で表す方法を学びます。
ポイントは、直前の 5 で学んだ標準化（zスコア $z=\dfrac{x-\bar{x}}{s}$）です。すべてのデータを「平均0・標準偏差1」の共通スケールに直してから、$z$ を3乗・4乗して平均するだけです。これで分布の「形」が1つの数値になります。

① 歪度（Skewness）：左右どちらに偏っているか

歪度（標準化した値の3乗の平均）

$$\text{Skew} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} z_i^{\,3} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^3$$

3乗は奇数乗なので符号が残り、裾が伸びた側の符号になります。
右に裾が長い → 歪度＞0　／　左に裾が長い → 歪度＜0　／　左右対称 → 歪度＝0

1乗・2乗ではダメな理由、3乗でないといけない理由

1乗がダメ：$z$ の平均は定義上かならず 0。
$z_i = \dfrac{x_i - \bar{x}}{s}$ の合計を計算すると $\sum z_i = \dfrac{\sum(x_i-\bar{x})}{s} = \dfrac{0}{s} = 0$ です。
「偏差の合計はつねに0」（分散を学んだときの話）と同じ話で、どんな形の分布でも1乗の平均は必ず0になります。形の情報がまったく得られません。

2乗がダメ：符号が消えて左右の区別がなくなる。
左の点（$z<0$）も右の点（$z>0$）も2乗すればプラスになり、「どちら側に裾があるか」の情報が失われます。これでは分散と同じで、広がりは分かっても形は分かりません。

3乗でよい理由①：奇数乗なので符号が残る。
$(-2)^3=-8,\;(+2)^3=+8$ のように符号がそのまま保たれます。左右どちらに偏っているかを表せる、いちばん小さい奇数乗が3乗です。

3乗でよい理由②：遠い点ほど影響が大きくなる。
$z=1 \Rightarrow z^3=1$、$z=2 \Rightarrow z^3=8$、$z=3 \Rightarrow z^3=27$ です。
裾の方向に飛び離れた点が合計の符号を支配するので、裾の向きがそのまま歪度の符号になります。

具体例で確かめる：右に1点だけ飛んだデータ

データ $\{2,\,3,\,4,\,5,\,\mathbf{16}\}$ です（最後の16だけ右に飛び離れている）。
平均 $\bar{x}=6$、標準偏差 $s=\sqrt{26}\approx5.10$ です。各点を $z=\dfrac{x-6}{5.10}$ に直して3乗する：

$x_i$	2	3	4	5	16
$z_i$	−0.78	−0.59	−0.39	−0.20	+1.96
$z_i^{\,3}$	−0.48	−0.20	−0.06	−0.01	+7.54

右端の1点だけで棒が突き抜けています。裾の側の点が合計をほぼ独占している様子です。

合計 $\sum z^3 \approx 6.79$ → 歪度 $=\dfrac{6.79}{5}\approx \mathbf{+1.36}$ です。
右にはみ出した「16」だけで $+7.54$ です。残り4点は合わせても $-0.75$ しかありません。
→ 右の裾が符号を決めるので、歪度は正です。裾の向きがそのまま符号になることが腑に落ちます。

密集した4点が「山」、右に飛んだ16が「裾」のミニチュアです。点を増やせば、そのまま山と裾の絵になります（↓）。

点を増やすと「山」と「裾」が現れる

データ数 5個

歪度の3パターン（裾＝しっぽの向きに注目）

山（最頻値）の反対側に長い裾が伸びます。裾の向きがそのまま歪度の符号になります。

平均・中央値・最頻値の位置関係

歪度＞ 0（右に裾が長い）：最頻値＜中央値＜平均（裾の方向に平均が引っ張られる）
歪度＝ 0（対称）：3つとも一致
歪度＜ 0（左に裾が長い）：平均＜中央値＜最頻値

② 尖度（Kurtosis）：とがり具合・裾の重さ（外れ値の出やすさ）

尖度（標準化した値の4乗の平均 − 3）

$$\text{Kurt} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} z_i^{\,4} - 3 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^4 - 3$$

4乗は偶数乗なので全部プラスになり、向きは関係なく外れ値の出やすさ（裾の重さ）を測ります。
正規分布だと $z^4$ の平均がちょうど3なので、−3 して正規分布を0の基準に合わせます。

2乗ではダメな理由

$z^2$ の平均はつねに1になってしまいます。
$\dfrac{1}{n}\sum z_i^2 = \dfrac{1}{n}\sum\!\left(\dfrac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^{\!2} = \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{s^2} = \dfrac{s^2}{s^2} = 1$
$s$ はそもそも「$z^2$ の平均が1になるように決めた定数」なので、$z^2$ を平均しても必ず1に戻ります。どんな形の分布であっても値が変わらず、形の情報がまったく得られません。

なぜ4乗なのか

偶数乗なので符号は消えます（左右どちらの外れ値も同じ扱い）。歪度とは逆に「向き」はどうでもよく、「どれだけ極端な値があるか」だけを見たいわけです。
しかも4乗は3乗よりさらに遠い点を極端に強調します：$z=1\Rightarrow1$、$z=2\Rightarrow16$、$z=3\Rightarrow81$ です。
→ 中心付近（$|z|<1$）の点は4乗でほぼ0に潰れ、裾の外れ値だけが残ります。だから尖度は「裾の重さ＝外れ値の出やすさ」の指標になります。

なぜ −3 するのか

正規分布では $z^4$ の平均がちょうど 3 になります（数学的事実）。
そのままだと「正規分布の尖度＝3」で基準が分かりにくくなります。そこで −3 して、正規分布をピッタリ0 に置きます。
→ 尖度 > 0 なら正規分布より尖って裾が重く、尖度 < 0 なら正規分布より平坦で裾が軽くなります。

具体例：外れ値が1つあると尖度が跳ね上がる

データ $\{5,5,5,5,5,5,5,5,5,\,\mathbf{25}\}$ です。
平均 $\bar{x}=7$、標準偏差 $s=6$ です。各点を $z=\dfrac{x-7}{6}$ に直して4乗する：

$x_i$	5（×9個）	25（×1個）
$z_i$	−0.33	+3.00
$z_i^{\,4}$	0.012	81.0

$\sum z^4 = 0.012\times9 + 81 \approx 81.1$ → 平均 $\dfrac{81.1}{10}=8.11$ → 尖度 $=8.11-3=\mathbf{+5.11}$ です。
密集した9点は4乗するとほぼ0 です（0.012）。たった1つの外れ値「25」が $z^4=81$ で合計を独占しています。
境目は $|z|=1$ です（平均±1SD）。$|z|<1$ の点は4乗でどんどん0に近づき（$0.5^4=0.06$）、$|z|>1$ の点はどんどん膨らみます（$2^4=16,\;3^4=81$）。つまり尖度は「平均±1SDの外にある点」だけでほぼ決まります。
→ 外れ値があるほど尖度は大きくなります。逆に外れ値のない一様なデータ（例：$\{1,2,3,4,5\}$）は尖度 $\approx-1.3$ と負になります。

尖度の3パターン（同じ中心・同じ広がりでとがり具合だけ違う）

3つとも標準偏差は同じです。尖度が低いと中心が平らで裾がすぐ切れ、高いと中心が尖って裾が長く伸びます。

尖った分布は「中心にギュッと密集」と「たまに遠くへポツンと外れる」の同居です。ふだんは平均のすぐ近く、でも時々ドカンと外れ値が出ます。この「遠くの外れ値の出やすさ」が“裾の重さ”です。たとえば株価の1日の変動率は、ほとんどの日は 0% 近くに密集しますが、たまに暴落・暴騰するので尖度が高くなります。

「裾が重い」と聞くとバラつきが大きいことだと思いがちですが、この2つは測っている軸が違います。

⚠️ 「SDが小さい」と「尖度が高い」は別もの

標準偏差（SD・広がり）と尖度（裾の重さ）は測っている軸が違います。上の3パターンはすべて同じ中心・同じ標準偏差なのに尖度が違います。つまり尖度は標準偏差では区別できない“裾の重さ”を測る指標です。

SD＝分布の“平均的な幅”（単位あり：点・円など）
尖度＝幅をそろえた後（$z$ に直した後）に残る形＝外れ値の出やすさ（単位なし）

シミュレータ①：SD（標準偏差）を動かす。山ごと「幅」が伸び縮み

標準偏差 SD： SD = 1.00

グレーは基準です（SD=1）。SDを上げると山全体が横に広がって低くなります（＝データが一様に散らばる）。「尖り」ではなく「幅」が変わります。

シミュレータ②：尖度を動かす。SDは1のまま、中心の密集と裾の重さだけ変わる

尖度：尖度 ≈ 0.00

グレーは正規分布です（尖度0）。横幅（SD＝1）は固定したまま、尖度を上げると中心が尖って密集し、同時に両裾がグレー線より上へ持ち上がります（＝平均から遠い値が出やすい）。下げると逆に、裾がグレー線より下がって遠い値が出にくくなります。

7

時系列データ

時間順に並んだデータの「流れ」と「傾向」を読む

時系列データには3つの成分が混在しています。

① トレンド

長期的な増減傾向です。「毎年売上が増えている」など

② 季節変動

1年周期など規則的な変動です。「夏に気温が上がる」

③ 不規則変動

ランダムなノイズです。予測不可能な変動

指数化と成長率：時系列を「基準年＝100」で読む

4 で見た指数化は、時系列でこそ本領を発揮します。ある年を基準（＝100）にすると、その後の指数はそのまま「基準年からの伸び」になります。指数が 110 なら基準年から 10% 増、95 なら 5% 減です。

年	売上（万円）	指数（2020年＝100）	前年比の成長率
2020	1,200	100	…
2021	1,320	110	＋10%
2022	1,188	99	−10%
2023	1,366	113.8	＋15%

※ 指数＝その年の売上 ÷ 2020年の売上 × 100。成長率＝（今年 − 前年）÷ 前年。

成長率は毎年変わるので、「平均して年に何%伸びたか」を出すときは幾何平均（3）を使います。3年間で指数が 100 から 113.8 になったので、年平均成長率は $\sqrt[3]{1.138} \approx 1.044$、つまり年 4.4% です。単純平均の $(10-10+15)\div 3 = 5\%$ とは一致しません。

移動平均（Moving Average）

直近 $k$ 個のデータの平均を連続して計算することで、ノイズを取り除いてトレンドを見やすくする手法です。

k 項移動平均

$$\hat{y}_t = \frac{1}{k}(y_t + y_{t-1} + \cdots + y_{t-k+1}) = \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1} y_{t-j}$$

東京の月別平均気温と移動平均

データ例：各月の平均気温（℃）

移動平均の窓幅：

3ヶ月移動平均：季節変動が少し平滑化されます

まとめ：移動平均の窓幅による違い

窓幅 $k$ が大きいほど平滑化され、トレンドが見えやすくなる
窓幅が大きすぎると、直近の変化を見逃す
$k$ 項移動平均を計算すると、最初の $k-1$ 個はデータが得られない

自己相関：「過去が現在にどれだけ影響するか」

時系列データの大きな特徴は、「今日の値」が「昨日の値」と関係していることが多いことです。気温・株価・売上などはたいてい、隣接時刻が似た値をとります。これを定量化するのが自己相関係数（autocorrelation）です。

ラグ $k$ の自己相関係数（覚える必要はありません）

$$r_k = \frac{\sum_{t=k+1}^{n}(y_t - \bar{y})(y_{t-k} - \bar{y})}{\sum_{t=1}^{n}(y_t - \bar{y})^2}$$

自己相関係数は、$y_t$ と $y_{t-k}$（$k$ 期前の値）のピアソン相関です。同じ時系列の「自分自身の過去」との相関を測ります。

意味と使い方：
・$r_1$（ラグ1）が大きい → 1期前の値が現在に強く影響（持続性あり）
・$r_{12}$ が大きい → 12期前と同じパターン（月次データなら年周期）
・全ラグでほぼ0 → 各時刻が独立（ホワイトノイズ的）

コレログラム（自己相関を全ラグで一覧）

ラグ $k$ ごとの自己相関係数 $r_k$ を棒グラフにしたものをコレログラムと呼びます。気温データなど季節性のあるデータでは特徴的なパターンが出ます。

月次平均気温のコレログラム例です。ラグ12（1年）でほぼ +1 になっていて、季節性が強いことが見えます。

コレログラムの読み取り方

ゆっくり減衰
→ トレンドがある（持続的）

周期的に強く出る
→ 季節性あり（ラグ12が高い＝年周期）

全ラグでほぼ0
→ ホワイトノイズ（過去が現在に影響しない）

8

不平等度の指標（ローレンツ曲線・ジニ係数）

「分配がどれだけ偏っているか」を1つの数字で表す

所得・資産・売上シェアなどの分布で「どれだけ偏っているか」を測りたい場面はよくあります。これは「広がり」とは別の観点で、累積（積み上げ）で見るのがポイントです。

ローレンツ曲線（Lorenz Curve）

人を所得の低い順に並べ、横軸＝「累積人口比」、縦軸＝「累積所得比」をプロットした曲線です。

ローレンツ曲線の見方

完全平等なら 45度線になり、不平等なほど 45度線から下に膨らみます。たとえば横軸 50% のときに縦軸が 20% なら、「下位 50% の人が全所得の 20% しか受け取っていない」という意味です。

ジニ係数（Gini Coefficient）

ローレンツ曲線をたった1つの数字で要約したものがジニ係数です。45度線と曲線の間の面積を、三角形（45度線の下の面積=1/2）に対する比率で表します。

ジニ係数

$$G = \frac{\text{面積 A}}{\text{面積 A + 面積 B}} = 2 \times \text{面積 A}$$

範囲：$0 \leq G \leq 1$
・$G = 0$：完全平等（全員同じ所得）
・$G = 1$：完全不平等（1人が全部独占）

目安：国別の所得のジニ係数

上と同じ「累積人口比 × 累積所得比」のローレンツ曲線から出した値です。国民の間で所得がどれだけ偏っているかを表します。

分類	ジニ係数	例
低い（平等寄り）	0.25 〜 0.30	北欧諸国（デンマーク・スウェーデンなど）
中程度	0.30 〜 0.40	多くの先進国、日本、米国
高い（不平等）	0.40 〜 0.50	中国、新興国
非常に高い	0.50 以上	南アフリカ、ブラジルなど

※ いずれも税や社会保障による再分配のあとの所得で見た値です。日本は約 0.33（OECD）〜0.38（厚労省「所得再分配調査」）で中程度です。再分配前の所得で測ると同じ国でも大きく上がる（日本の当初所得は約 0.57）ので、数字を比べるときは「再分配の前か後か」を必ず確認します。

具体例：5人の所得

5人の所得が 100, 200, 300, 400, 500 万円だとします（総所得 1500 万円）。
所得の低い順に並べ、人数と所得を「累積」していきます。

所得（万円）	100	200	300	400	500
累積所得（万円）	100	300	600	1000	1500
累積人数比 $p$	20%	40%	60%	80%	100%
累積所得比 $q$	6.7%	20%	40%	66.7%	100%

表の $(p,\;q)$ を点として打ち、順に直線で結ぶと この5人のローレンツ曲線になります：

曲線は最初ゆるやか（所得の少ない人）→ 終盤で急になります（所得の多い人）。45度線から下に膨らむほど不平等です。あとは色のついた面積Aを測るだけ：

曲線の下の面積B（台形の合計）
$B = 0.2\times\dfrac{0+0.067}{2} + 0.2\times\dfrac{0.067+0.2}{2} + 0.2\times\dfrac{0.2+0.4}{2} + 0.2\times\dfrac{0.4+0.667}{2} + 0.2\times\dfrac{0.667+1}{2} \approx 0.367$
面積 $A = 0.5 - B = 0.5 - 0.367 = 0.133$
$\;\;\Rightarrow\;\; G = 2A = 2\times0.133 \approx \mathbf{0.27}$

もし5人の所得が全員同じ（300万円ずつ）なら曲線は45度線と一致し、面積A＝0 → $G=0$（完全平等）になります。

次のステップ →

第2章「2変数以上のデータ」へ進む

相関・単回帰・分割表を図解で学ぶ

1変数データ

要約する前

要約したあと