1変数データ
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統計検定2級のゴールは、一部のデータ（標本）から全体（母集団）を推測することです（第7〜8章）。 でもその前に、手元にあるデータを正しく「見る」技術がなければ何も始まりません。 100人分の数字をそのまま並べて渡されて、眺めて分かることはほとんどないからです。
この章がやるのは、並んだ数字を「たった数個の値」に圧縮することです。 どこが真ん中で（中心）、どれくらい散らばっていて（広がり）、どんな形をしているか（形）の3つが分かれば、100個の数字は「だいたいこういうデータだ」と一言で言えるようになります。
要約する前
72, 58, 91, 65, 80, …（100個）
見ても何も分からない
他のデータと比べようがない
要約したあと
平均73点・標準偏差12点・やや右に裾が長い
3つの数字で全体像がつかめる
別のクラスとも比較できる
データの種類と尺度
「どんな数値か」によって、使える統計操作が変わる
データを集めたとき、まず考えなければならないのが「このデータは何尺度か？」という問いです。尺度によって「平均を取っていいか」「順序に意味があるか」が決まります。
尺度は名義 → 順序 → 間隔 → 比例の順に「できること」が増えていきます。比例尺度のデータには名義尺度の操作（分類・度数）もそのまま使えます。
分布を見る
以下のデータはクラス30人の数学テストの点数です。パッと見て分かることはありますか？
42, 55, 58, 62, 65, 65, 67, 68, 70, 71,
72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81,
82, 85, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 100
数字の羅列だと、全体の傾向は全くつかめません。
度数分布表にしてみる
まず「何点台が何人いるか」をまとめます。
| 階級（点） | 度数（人） | 相対度数 | 累積相対度数 |
|---|---|---|---|
| 40〜50未満 | 1 | 0.033 | 0.033 |
| 50〜60未満 | 2 | 0.067 | 0.100 |
| 60〜70未満 | 5 | 0.167 | 0.267 |
| 70〜80未満 | 10 | 0.333 | 0.600 |
| 80〜90未満 | 7 | 0.233 | 0.833 |
| 90〜100以下 | 5 | 0.167 | 1.000 |
| 合計 | 30 | 1.000 | — |
※ 相対度数 = 度数 ÷ 全体（30） 累積相対度数 = その階級までの相対度数の合計
ヒストグラムにすると一目瞭然
階級幅を変えると、見え方がどう変わるか試してみましょう。
ヒストグラム以外の見せ方：幹葉図・累積度数グラフ・円グラフ
同じデータでも、知りたいことによって向いているグラフが変わります。ヒストグラム以外に3つ、試験で名前が出るものを同じ30人の点数で見ておきます。
目安として、元の値を残したまま形を見たいなら幹葉図、「何点以下が何%か」を読みたいなら累積度数グラフ、カテゴリごとの割合なら円グラフ、それ以外の量的データの形はヒストグラム、と使い分けます。
分布の「形」3パターン：曲線で見る
データを多く集めて細かく描くと、ヒストグラムは滑らかな曲線の形に近づきます。この曲線が「分布の形」です。代表的な3パターンを見ましょう。
※ カード内の「歪度（わいど）」は形を数値で表す指標です。6 で定義するので、ここでは形のイメージだけつかめばOKです。
左に山があるのに「右に歪んだ」と呼ぶのは、直感に反します。右側には何もないので。
そこで、その何もない側に歪みのかたまりであるブラックホールがあると考えてみてください。
ブラックホールが時空を歪めて、分布が逆側に寄って伸びているとイメージすると覚えやすいです。
山の数で分けることもあります。山が1つなら単峰、2つ以上なら多峰（2つなら双峰）と呼びます。多峰は「性質の違う集団が混ざっているサイン」で、たとえば男女混合の身長は、女性の山と男性の山が重なって双峰になります。山がなく平らな形は一様です。
中心（代表値）
データの「真ん中」を1つの数で表す
前の節では分布を図で眺めました。ここから先は分布を3つの軸で数値化していきます：
- 中心：分布の真ん中はどこか → 今ここ（3）
- 広がり：分布の散らばり具合 → 4
- 形：対称か歪んでいるか／とがっているか平坦か → 6
※ 間に挟まる 5（標準化）は、「形」を数値にするための道具（zスコア）を準備するステップです。
代表値とは、たくさんのデータを1つの数値で要約するものです。
平均値（算術平均）
データを重りだと思うと、平均値の位置にシーソーの支点を置けばちょうど釣り合います。
中央値（メジアン）
データを小さい順に並べたとき、ちょうど真ん中の値です。
- データ数 $n$ が奇数：ちょうど $\frac{n+1}{2}$ 番目の値
- データ数 $n$ が偶数：$\frac{n}{2}$ 番目と $\frac{n}{2}+1$ 番目の平均
真ん中の人さえ分かれば、両端の人が何点でも中央値は同じです。だから外れ値に引っ張られません（このあと確認します）。
最頻値（モード）
データの中で最も頻繁に出てくる値です。数値データより、カテゴリデータ（血液型、趣味など）でよく使います。
様々な平均
「平均」と聞いたら算術平均を思い浮かべますが、扱う量の性質によって使い分けるべき平均が3種類あります。
① 加重平均（Weighted Mean）：重要度が違うデータを平均する
各データ $x_i$ に重み $w_i$ を掛けて合計し、重みの合計で割ります。重みが全部1なら通常の算術平均と一致します。
数学（4単位）80点、英語（3単位）70点、体育（1単位）60点です。
算術平均：$(80+70+60)/3 = 70$ 点
加重平均（単位数を重みに）：$\dfrac{4 \cdot 80 + 3 \cdot 70 + 1 \cdot 60}{4+3+1} = \dfrac{590}{8} = $ 73.75 点
→ 重い科目（単位数の多い数学）の点数がより強く反映されます。
② 幾何平均（Geometric Mean）：成長率や倍率を平均する
幾何平均は「掛けて $n$ 乗根」です。倍率（×1.10, ×1.20, ×0.90 など）のような掛け算で積み上がる量に使います。
ある会社の売上の成長率（前年からの伸び）は、1年目が +30%、2年目が +20%、3年目が −10% でした。
3年で売上は 1.404 倍になりました。では、この3年間をならすと、1年あたりの成長率は何%でしょうか？
算術平均：$(30 + 20 - 10)/3 = +13.3\%$ → これだと「毎年13.3%ずつ成長」になり $1.133^3 = 1.45$ 倍です。実際の 1.404 倍と合いません。
幾何平均：$\sqrt[3]{1.30 \times 1.20 \times 0.90} = \sqrt[3]{1.404} \approx 1.1198$ 倍 → 成長率は $1.1198 - 1 = 0.1198$、つまり年率約11.98%です。これなら $1.1198^3 = 1.404$ 倍で一致します。
③ 調和平均（Harmonic Mean）：速度・効率を平均する
調和平均は「逆数の算術平均の逆数」です。同じ量を割って得られる比率（速度＝距離/時間など）に使います。
同じ道を往路 60 km/h、復路 40 km/h で走りました。平均速度は？
算術平均（誤）：$(60+40)/2 = 50$ km/h
調和平均（正）：$\dfrac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} = \dfrac{2}{\frac{2+3}{120}} = \dfrac{2 \times 120}{5} = $ 48 km/h
距離を120 kmとすると 往路2時間 + 復路3時間 = 5時間で 240 km → 平均 48 km/h で一致します。「遅い方に引っ張られる」のが調和平均の特徴です。
3つの平均の使い分け早見表
| 名前 | 計算 | 使う場面 | 大小関係 |
|---|---|---|---|
| 算術平均 | 足して割る | 普通の量（点数、身長など） | 算術 ≥ 幾何 ≥ 調和 （正の値のとき） |
| 幾何平均 | 掛けて $n$ 乗根 | 成長率・倍率（経済成長、複利） | |
| 調和平均 | 逆数の算術平均の逆数 | 比率・速度（km/h、燃費） |
外れ値があるとどうなる？
「外れ値（他の値と大きく離れたデータ）」があると、平均値は大きく変わるのに、中央値はほとんど動かないという特徴があります。
60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85
日本の給与所得者の平均年収は460万円程度ですが、中央値は360万円程度です（出典：国税庁「民間給与実態統計調査」。平均は公表値、中央値は同調査の階級別分布から推計した値です）。少数の超高収入者が平均を引き上げているため、「自分は平均以下」と感じる人が多数派になります。
→ このようなケースでは中央値のほうが「実態」を反映しています。
✅ 平均値が適している場面
- 外れ値がないとき
- 数学的計算に使うとき（分散などは平均から計算）
- データが対称分布のとき
✅ 中央値が適している場面
- 外れ値があるとき（年収・地価など）
- 分布が左右非対称のとき
- 「典型的な値」を知りたいとき
広がり（散らばり）
「平均が同じ」でも、バラつきが違えば全然違うデータ
→ 平均は同じ70点なのに、クラスの様子は全然違います。バラつきを表す指標が必要です。
範囲（レンジ）
一番素朴な指標として、範囲（＝最大値 − 最小値）があります。クラスAは $80-60=20$ 点、クラスBは $100-40=60$ 点です。一瞬で計算できる反面、両端の2つの値だけで決まるため、外れ値が1つあるだけで激変し、間のデータの散らばり方は完全に無視されます。
→ 「全データを使って散らばりを測りたい」。そこで分散を使います。
分散（バリアンス）と標準偏差
全データを使うには、各データが平均からどれだけ離れているか（偏差）を全員分集めて、その大きさを平均すればよさそうです。ただし偏差にはプラスとマイナスがあり、そのまま足すと必ず0になって打ち消し合います（このあとの計算ステップの表で確かめます）。そこで偏差を2乗してマイナスを消してから平均します。これが分散で、その平方根が標準偏差です。
データ 10, 11, 14, 17, 23（平均 15）。各データから平均までの距離を一辺とする正方形を描くと…
正方形の面積は 25, 16, 1, 4, 64 です。その平均 $(25+16+1+4+64)\div5 = 22$ が分散です。距離を2乗したものは正方形の面積なので、分散は正方形の面積の平均と言えます。面積が大きいほどバラつきが大きくなります。
ただし分散は単位も2乗になります（点なら「点²」）。元の単位に戻すため平方根をとったものが標準偏差（SD＝Standard Deviation）です。図では、面積22の正方形（点線）の一辺 $\sqrt{22} \approx 4.7$ が標準偏差にあたります。
表記の約束：本文では「標準偏差」、数式では記号 $s$（分散は $s^2$）、グラフのラベルなど狭い場所では「SD」と書きます。実務のツールや論文でも SD 表記が標準なので、セットで覚えてください。
さっきの正方形を、平均が同じ70点の2クラスで描くと…
クラスA：60, 65, 70, 75, 80
クラスB：40, 55, 70, 85, 100
→ 両者とも平均は70点です。でもクラスAは平均からだいたい7点、クラスBはだいたい21点ずれます。
標準偏差は「平均からのズレの、だいたいの大きさ」です。
計算ステップ（クラスAで確認）
- 平均を計算する：$\bar{x} = 70$
- 各データと平均の差（偏差）を求める
- 偏差を二乗する（マイナスを消す＆大きな差を強調）
- 偏差の二乗を合計して $n$ で割る → 分散
- 分散の平方根 → 標準偏差（元のデータと同じ単位になる）
| $x_i$ | 偏差 $x_i - \bar{x}$ | 偏差の二乗 $(x_i-\bar{x})^2$ |
|---|---|---|
| 60 | -10 | 100 |
| 65 | -5 | 25 |
| 70 | 0 | 0 |
| 75 | +5 | 25 |
| 80 | +10 | 100 |
| 合計 | 0（常にゼロ！） | 250 |
分散 $s^2 = 250 \div 5 = \mathbf{50}$ 標準偏差 $s = \sqrt{50} \approx \mathbf{7.07}$点
標本データから母集団の分散を推定するには $n-1$ で割る「不偏分散」 を使います（第6章で詳しく）。本サイトでは両者を記号で区別し、標本分散を $s^2$（÷$n$）、不偏分散を $s_u^2$（÷$(n-1)$）と書きます（$u$ は unbiased＝不偏）。
統計検定2級では問題文をよく読み「$n$ で割るか $n-1$ で割るか」を確認しましょう。
四分位数と箱ひげ図（ボックスプロット）
データを4等分するポイントが四分位数です。
Q1（第1四分位数）
下位25%の点です。「下から4分の1」の位置
Q2（中央値）
ちょうど真ん中50%の点です。中央値と同じ
Q3（第3四分位数）
上位25%の点です。「上から4分の1」の位置
IQRは「真ん中50%のデータが収まる幅」です。外れ値の影響を受けにくい散らばりの指標です。
箱の中が「中央50%」の範囲、線が中央値、ひげが最大・最小を表す
五数要約と「外れ値」の判定基準（1.5×IQR ルール）
箱ひげ図は5つの数値で決まります。この5つを五数要約（five-number summary）と呼びます。
$\min$
$Q_1$
$Q_2$ (Med)
$Q_3$
$\max$
小さい側（下から25%）が第1四分位数 $Q_1$、大きい側（下から75%）が第3四分位数 $Q_3$ です。どちらが第1でどちらが第3かは、覚えておきましょう。
・箱：$Q_1$ から $Q_3$ まで（＝中央50%）
・箱内の線：中央値 $Q_2$
・ひげ：最遠の「外れ値でないデータ」まで（後述の 1.5×IQR ルールで決まる）
・点：ひげの外にあるデータ = 外れ値として個別表示
1.5×IQR ルール：「外れ値」の客観的な定義
「他のデータより明らかに離れているか」を主観で決めるのではなく、IQR を物差しにした客観基準を使います：
次のどちらかに該当するデータは「外れ値」とみなす：
・$x < Q_1 - 1.5 \cdot \text{IQR}$（下限ライン未満）
・$x > Q_3 + 1.5 \cdot \text{IQR}$（上限ライン超）
ひげは「下限・上限ライン以内の最遠データ」までです。それを超えるデータ点が 外れ値です。
点数：15, 60, 65, 68, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 98 （11人）
$Q_1 = 65$、$Q_3 = 80$、$\text{IQR} = 80 - 65 = 15$
下限ライン：$65 - 1.5 \times 15 = 42.5$ → 15点は外れ値
上限ライン：$80 + 1.5 \times 15 = 102.5$ → 98点は範囲内
変動係数（CV）
標準偏差は散らばりの大きさをそのまま表します。そのため、2つのデータのバラつきを比べようとすると、困る場面があります。
- 単位が違うとき：身長の標準偏差 5cm と体重の標準偏差 8kg は、cm と kg なので大小を比べられない
- 平均の大きさがまるで違うとき：平均1000円の株が100円動くのと、平均50円の株が8円動くのとでは、同じ「円」でも重みが違う
そこで標準偏差を平均で割り、「平均の何%ぶん散らばっているか」に直したものが変動係数（CV）です。割り算で単位が消える（無次元の比率になる）ので、単位や平均の大きさが違うデータどうしでも、バラつきを比べられます。
ある集団のデータ：
| 変数 | 平均 $\bar{x}$ | 標準偏差 $s$ | CV = $\dfrac{s}{\bar{x}} \times 100$ |
|---|---|---|---|
| 身長 | 170 cm | 5 cm | $\dfrac{5}{170}\times 100 \approx$ 2.94% |
| 体重 | 60 kg | 8 kg | $\dfrac{8}{60}\times 100 \approx$ 13.33% |
標準偏差だけ見ると：体重 8kg vs 身長 5cm です。単位が違うので比較不可能です。
CV で比べると：身長 2.94% vs 体重 13.33% → 体重のほうが約4.5倍バラつきが大きいと言えます。
もう一つの例：株価のリスク比較
A社の株価：平均 1000円、標準偏差 100円 → CV = 10%
B社の株価：平均 50円、標準偏差 8円 → CV = 16%
→ B社のほうが「株価が変動しやすい（リスクが大きい）」と分かります。
標準偏差の値（100円 vs 8円）だけ見ると、誤って「A社の方が動いている」と判断してしまいます。
CV は 平均が0に近い、または負の値を取りうるデータには使えません（割る数が小さすぎたり、符号が逆転すると無意味）。
気温（℃）や利益率など「正負どちらにもなりうる量」は比例尺度ではないのでCVは不適切です。CVが意味を持つのは、年収・身長・距離など「比例尺度のデータ」だけです。
指数化：基準を100にそろえて比べる
売上が 1,200万円から 1,500万円に、来客数が 800人から 1,000人に増えました。どちらの伸びが大きいでしょうか。「万円」と「人」では目盛りが違うので、そのままでは比べられません。変動係数のときと同じ発想で、単位を消してしまいます。
基準にした値（基準年、基準時点）を 100 とし、ほかの値を「基準の何%か」で表します。
指数化は時系列で複数の系列を比べるときの定番で、消費者物価指数（CPI）が代表例です。7 で成長率とセットでもう一度使います。
標準化と偏差値
「異なる試験の点数」を同じ土俵で比べる方法
1次変換
アメリカの天気予報は、気温を華氏（℉）で伝えます。摂氏（℃）との関係は $F = 1.8C + 32$ です。華氏では、0℉ が摂氏の約 −18℃、100℉ が約 38℃ にあたります。アメリカの多くの地域では日常の気温がほぼ 0〜100℉ に収まるので、使いやすい目盛りとして浸透しています。
手元に摂氏の気温のデータがあり、平均と標準偏差を計算してあるとします。華氏で言い直すには、全データを1つずつ変換して計算し直さないといけないのでしょうか。
その必要はありません。$F = 1.8C + 32$ のように、データを「何倍かして、何かを足す」変換を1次変換といいます。1次変換では、平均と標準偏差の変わり方が決まっています。
データ $x$ を $y = ax + b$ と変換すると
$$\bar{y} = a\bar{x} + b \qquad s_y = |a|\,s_x \qquad s_y^2 = a^2\,s_x^2$$平均は、変換の式にそのまま入れれば求まります。足し算の $b$ は全体をずらすだけなので、散らばりは変わりません。掛け算の $a$ は平均からのズレも $a$ 倍にするので、標準偏差は $|a|$ 倍、ズレを2乗する分散は $a^2$ 倍になります。
気温は 24, 26, 27, 28, 30（℃）で、平均は 27℃、標準偏差は 2℃（分散は 4）です。華氏では、
・平均：$1.8 \times 27 + 32 = 80.6$℉
・標準偏差：$1.8 \times 2 = 3.6$℉（$+32$ は関係なし）
・分散：$1.8^2 \times 4 = 3.24 \times 4 = 12.96$
5つの値を1つずつ華氏に直して計算し直しても、同じ結果になります（上の図の値）。
標準化
Aさんは数学で72点、Bさんは英語で72点を取りました。
どちらが「クラスの中で優秀」だったのでしょうか？
（数学：クラス平均60点・標準偏差10点 ／ 英語：クラス平均78点・標準偏差6点）
点数が同じでも、クラスの平均や散らばり方が違えば意味が違います。そこで「クラス内での位置」を同じ尺度で表すのが標準化（z変換）です。
「自分の点がクラス平均より何標準偏差分上（下）か」を示します。z=0 が平均、z=1 なら平均より標準偏差1個分上です。
なぜ「平均を引く」のか、なぜ「標準偏差で割る」のか、公式の意味を分布図で見てみましょう。z変換は、異なる平均・異なる散らばりを持つ複数の分布を、すべて「同じ位置・同じ形」に揃えるための2段階の操作です。
この2ステップも、上で見た1次変換です。平均を引くのは足し算なので、平均は0になり、散らばりは変わりません。標準偏差 $s$ で割るのは $\dfrac{1}{s}$ 倍の掛け算なので、標準偏差は $\dfrac{1}{s} \times s = 1$ になります。だから z は、どんなデータでも平均0・標準偏差1になります。
上の3つは左右対称の分布でしたが、年収のように右へ歪んだ分布でも標準化はできます（各値から平均を引いて標準偏差で割るだけの操作だから）。ただし、そろうのは中心と幅だけです。歪み（形）はそのまま残ります。
中心と幅はそろいますが、右に裾を引いた形はそのままです。
→ だから「標準化＝正規分布（釣鐘型）になる」ではありません。標準正規分布 $N(0,1)$ になるのは、元がもともと正規分布だったときだけです。この先の「偏差値 → 上位何%」も、元が正規分布に近いことを前提にした目安で、強く歪んだデータでは実際の割合とズレます。
偏差値
「偏差値60の高校」「模試で偏差値が5上がった」のように、偏差値は学力や試験の成績を表す言葉として日常でよく使われます。高いほど成績が良いという感覚は誰にでもありますが、どうやって算出されているかまで知っている人は多くありません。中身は、上で見た z スコアを、なじみやすい目盛りに直したものです。
z スコア（平均0・標準偏差1）を10倍して50を足す1次変換です。規則から、平均は $10 \times 0 + 50 = 50$、標準偏差は $10 \times 1 = 10$ になります。日本の入試でお馴染みの指標です。
標準化の最初の疑問（数学72点と英語72点、どちらが優秀か）に、偏差値で答えます。
Aさん（数学72点）：$z = \dfrac{72 - 60}{10} = +1.2$、偏差値 $= 50 + 10 \times 1.2 = 62$。クラス平均より 1.2SD 上です。
Bさん（英語72点）：$z = \dfrac{72 - 78}{6} = -1.0$、偏差値 $= 50 + 10 \times (-1.0) = 40$。クラス平均より 1SD 下です。
→ 同じ72点でも、Aさんの方がクラス内では優秀だったことが分かります。
グラフは正規分布を仮定（実際の分布とは異なる場合があります）
分布の形（歪度・尖度）
3観点の最後：分布の「形」を1つの数値に圧縮する
2 で「右に裾が長い」「左に偏っている」などを絵で見ました。ここではその「形」を数値で表す方法を学びます。
ポイントは、直前の 5 で学んだ標準化（zスコア $z=\dfrac{x-\bar{x}}{s}$）です。すべてのデータを「平均0・標準偏差1」の共通スケールに直してから、$z$ を3乗・4乗して平均するだけです。これで分布の「形」が1つの数値になります。
① 歪度（Skewness）：左右どちらに偏っているか
3乗は奇数乗なので符号が残り、裾が伸びた側の符号になります。
右に裾が長い → 歪度＞0 ／ 左に裾が長い → 歪度＜0 ／ 左右対称 → 歪度＝0
山（最頻値）の反対側に長い裾が伸びます。裾の向きがそのまま歪度の符号になります。
- 歪度 ＞ 0（右に裾が長い）：最頻値 ＜ 中央値 ＜ 平均（裾の方向に平均が引っ張られる）
- 歪度 ＝ 0（対称）：3つとも一致
- 歪度 ＜ 0（左に裾が長い）：平均 ＜ 中央値 ＜ 最頻値
② 尖度（Kurtosis）：とがり具合・裾の重さ（外れ値の出やすさ）
4乗は偶数乗なので全部プラスになり、向きは関係なく外れ値の出やすさ（裾の重さ）を測ります。
正規分布だと $z^4$ の平均がちょうど3なので、−3 して正規分布を0の基準に合わせます。
3つとも標準偏差は同じです。尖度が低いと中心が平らで裾がすぐ切れ、高いと中心が尖って裾が長く伸びます。
尖った分布は「中心にギュッと密集」と「たまに遠くへポツンと外れる」の同居です。ふだんは平均のすぐ近く、でも時々ドカンと外れ値が出ます。この「遠くの外れ値の出やすさ」が“裾の重さ”です。たとえば株価の1日の変動率は、ほとんどの日は 0% 近くに密集しますが、たまに暴落・暴騰するので尖度が高くなります。
「裾が重い」と聞くとバラつきが大きいことだと思いがちですが、この2つは測っている軸が違います。
標準偏差（SD・広がり）と尖度（裾の重さ）は測っている軸が違います。上の3パターンはすべて同じ中心・同じ標準偏差なのに尖度が違います。つまり尖度は標準偏差では区別できない“裾の重さ”を測る指標です。
- SD＝分布の“平均的な幅”（単位あり：点・円など）
- 尖度＝幅をそろえた後（$z$ に直した後）に残る形＝外れ値の出やすさ（単位なし）
グレーは基準です（SD=1）。SDを上げると山全体が横に広がって低くなります（＝データが一様に散らばる）。「尖り」ではなく「幅」が変わります。
グレーは正規分布です（尖度0）。横幅（SD＝1）は固定したまま、尖度を上げると中心が尖って密集し、同時に両裾がグレー線より上へ持ち上がります（＝平均から遠い値が出やすい）。下げると逆に、裾がグレー線より下がって遠い値が出にくくなります。
時系列データ
時間順に並んだデータの「流れ」と「傾向」を読む
時系列データには3つの成分が混在しています。
① トレンド
長期的な増減傾向です。「毎年売上が増えている」など
② 季節変動
1年周期など規則的な変動です。「夏に気温が上がる」
③ 不規則変動
ランダムなノイズです。予測不可能な変動
指数化と成長率：時系列を「基準年＝100」で読む
4 で見た指数化は、時系列でこそ本領を発揮します。ある年を基準（＝100）にすると、その後の指数はそのまま「基準年からの伸び」になります。指数が 110 なら基準年から 10% 増、95 なら 5% 減です。
| 年 | 売上（万円） | 指数（2020年＝100） | 前年比の成長率 |
|---|---|---|---|
| 2020 | 1,200 | 100 | … |
| 2021 | 1,320 | 110 | ＋10% |
| 2022 | 1,188 | 99 | −10% |
| 2023 | 1,366 | 113.8 | ＋15% |
※ 指数 ＝ その年の売上 ÷ 2020年の売上 × 100。成長率 ＝ （今年 − 前年）÷ 前年。
成長率は毎年変わるので、「平均して年に何%伸びたか」を出すときは幾何平均（3）を使います。3年間で指数が 100 から 113.8 になったので、年平均成長率は $\sqrt[3]{1.138} \approx 1.044$、つまり年 4.4% です。単純平均の $(10-10+15)\div 3 = 5\%$ とは一致しません。
移動平均（Moving Average）
直近 $k$ 個のデータの平均を連続して計算することで、ノイズを取り除いてトレンドを見やすくする手法です。
データ例：各月の平均気温（℃）
3ヶ月移動平均：季節変動が少し平滑化されます
- 窓幅 $k$ が大きいほど平滑化され、トレンドが見えやすくなる
- 窓幅が大きすぎると、直近の変化を見逃す
- $k$ 項移動平均を計算すると、最初の $k-1$ 個はデータが得られない
自己相関：「過去が現在にどれだけ影響するか」
時系列データの大きな特徴は、「今日の値」が「昨日の値」と関係していることが多いことです。気温・株価・売上などはたいてい、隣接時刻が似た値をとります。これを定量化するのが自己相関係数（autocorrelation）です。
自己相関係数は、$y_t$ と $y_{t-k}$（$k$ 期前の値）のピアソン相関です。同じ時系列の「自分自身の過去」との相関を測ります。
・$r_1$（ラグ1）が大きい → 1期前の値が現在に強く影響（持続性あり）
・$r_{12}$ が大きい → 12期前と同じパターン（月次データなら年周期）
・全ラグでほぼ0 → 各時刻が独立（ホワイトノイズ的）
ラグ $k$ ごとの自己相関係数 $r_k$ を棒グラフにしたものをコレログラムと呼びます。気温データなど季節性のあるデータでは特徴的なパターンが出ます。
月次平均気温のコレログラム例です。ラグ12（1年）でほぼ +1 になっていて、季節性が強いことが見えます。
→ トレンドがある（持続的）
→ 季節性あり（ラグ12が高い＝年周期）
→ ホワイトノイズ（過去が現在に影響しない）
不平等度の指標（ローレンツ曲線・ジニ係数）
「分配がどれだけ偏っているか」を1つの数字で表す
所得・資産・売上シェアなどの分布で「どれだけ偏っているか」を測りたい場面はよくあります。これは「広がり」とは別の観点で、累積（積み上げ）で見るのがポイントです。
ローレンツ曲線（Lorenz Curve）
人を所得の低い順に並べ、横軸＝「累積人口比」、縦軸＝「累積所得比」をプロットした曲線です。
完全平等なら 45度線になり、不平等なほど 45度線から下に膨らみます。たとえば横軸 50% のときに縦軸が 20% なら、「下位 50% の人が全所得の 20% しか受け取っていない」という意味です。
ジニ係数（Gini Coefficient）
ローレンツ曲線をたった1つの数字で要約したものがジニ係数です。45度線と曲線の間の面積を、三角形（45度線の下の面積=1/2）に対する比率で表します。
範囲：$0 \leq G \leq 1$
・$G = 0$：完全平等（全員同じ所得）
・$G = 1$：完全不平等（1人が全部独占）
上と同じ「累積人口比 × 累積所得比」のローレンツ曲線から出した値です。国民の間で所得がどれだけ偏っているかを表します。
| 分類 | ジニ係数 | 例 |
|---|---|---|
| 低い（平等寄り） | 0.25 〜 0.30 | 北欧諸国（デンマーク・スウェーデンなど） |
| 中程度 | 0.30 〜 0.40 | 多くの先進国、日本、米国 |
| 高い（不平等） | 0.40 〜 0.50 | 中国、新興国 |
| 非常に高い | 0.50 以上 | 南アフリカ、ブラジルなど |
※ いずれも税や社会保障による再分配のあとの所得で見た値です。日本は約 0.33（OECD）〜0.38（厚労省「所得再分配調査」）で中程度です。 再分配前の所得で測ると同じ国でも大きく上がる（日本の当初所得は約 0.57）ので、数字を比べるときは「再分配の前か後か」を必ず確認します。
5人の所得が 100, 200, 300, 400, 500 万円だとします（総所得 1500 万円）。
所得の低い順に並べ、人数と所得を「累積」していきます。
| 所得（万円） | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|
| 累積所得（万円） | 100 | 300 | 600 | 1000 | 1500 |
| 累積人数比 $p$ | 20% | 40% | 60% | 80% | 100% |
| 累積所得比 $q$ | 6.7% | 20% | 40% | 66.7% | 100% |
表の $(p,\;q)$ を点として打ち、順に直線で結ぶと この5人のローレンツ曲線になります：
曲線は最初ゆるやか（所得の少ない人）→ 終盤で急になります（所得の多い人）。45度線から下に膨らむほど不平等です。あとは色のついた面積Aを測るだけ：
$B = 0.2\times\dfrac{0+0.067}{2} + 0.2\times\dfrac{0.067+0.2}{2} + 0.2\times\dfrac{0.2+0.4}{2} + 0.2\times\dfrac{0.4+0.667}{2} + 0.2\times\dfrac{0.667+1}{2} \approx 0.367$
面積 $A = 0.5 - B = 0.5 - 0.367 = 0.133$
$\;\;\Rightarrow\;\; G = 2A = 2\times0.133 \approx \mathbf{0.27}$
もし5人の所得が全員同じ（300万円ずつ）なら曲線は45度線と一致し、面積A＝0 → $G=0$（完全平等）になります。