カイ二乗検定

第6章でも触れましたが、カイ二乗分布は「ばらつき」が従う分布です。あそこでは $s_u^2$（数値のばらつき）が何に従うかを調べて、この分布にたどり着きました。

同じ母集団から標本を取り直すたびに、手元のばらつきの値は毎回変わります。工場から20個抜き取れば分散は $6.5$ だったり $3.2$ だったりします。サイコロを60回振れば、出目の散らばり方も毎回違います。取り直すたびにばらつきの値がどこに落ちやすいか、それを表したのがカイ二乗分布です。
だから話は単純で、手元のばらつきが怪しいかどうかを調べたければ、この分布と照らせばいいのです。それがカイ二乗検定です。

① 「ばらつき」には2つの顔がある

第8章の母分散の検定と、この章の検定は、見た目はまるで違うのに同じ分布を使います。理由は、どちらも「中心からのズレを、標準化して、2乗して、全部足す」というまったく同じ作り方をしているからです。そしてこの「ズレの2乗の合計」こそが、第1章で学んだばらつき（分散）の定義です。

② だからこの形になる：定義と自由度

「標準化したズレ」は第5章の $Z$ です。それを2乗して足すのだから、カイ二乗分布の定義はこう書けます（第6章の再掲）：

③ どちらの裾を見るかは、何を疑うかで決まる

同じカイ二乗分布を使っても、棄却域をどちら側に取るかは「何を疑っているか」で決まります。
数値のばらつき（第8章）で疑ったのは「ばらつきが大きくなったのでは」でした。だから右側です。
ただし数値のばらつきなら、場面は少ないものの「ばらつきが小さすぎるのでは」という疑いもありえます（たとえば自由度15で $\chi^2=5$ なら下側 $1\%$ 弱）。このときは左側を見ることになります。
では度数のズレ（この章）はどうでしょうか。サイコロを60回振って、出目がちょうど10回ずつだったとします。ズレはゼロ、$\chi^2$ も $0$ で分布のいちばん左です。このとき「このサイコロ、おかしいのでは」と疑うでしょうか。疑いません。想定どおりの、いちばん公平な結果です。
度数のズレは一方通行です。想定どおりなら小さく、想定から外れるほど大きくなります。小さい側には「怪しさ」がありません。だからこの章の棄却域はつねに右側の片側です。

① 期待度数：「$H_0$ が正しいなら何回のはずか」

$H_0$：「サイコロは公平（各目の確率 $\frac{1}{6}$）」です。$H_1$：「公平でない」です。
$H_0$ が正しい世界での理論値が期待度数 $E$（Expected＝期待される）：$E = n \times (\text{想定した確率})= 60 \times \frac{1}{6} = 10$ 回ずつです。実際に数えたほうは観測度数 $O$（Observed＝観測された）。この2つを並べて見ると：

② ズレの総量を1つの数に：カイ二乗統計量

③ 自由度はなぜ「カテゴリ数 − 1」？

カテゴリは6個なのに自由度は $6-1=5$ です。理由は合計60回が固定されているから、5つの目の度数が決まれば、最後の1つは「$60-$ 残り」で自動的に決まってしまい、自由に動けるのは5個だけです。第6章の $n-1$（$\bar{x}$ に1個縛られる）と同じ理屈です。

④ 判定：カイ二乗分布の右裾と比べる

$H_0$（公平）が正しければ、$\chi^2$ は自由度5のカイ二乗分布に従います。上側5%点は 11.07（1 の表）。観測した 13.4 はその右です。「公平なら5%未満しか起きないズレ」です。

体感：公平なサイコロでも χ² はこれだけ揺れる

「公平でもズレは出る」を体で確かめます。本当に公平なサイコロを60回振って χ² を計算する、を何度も繰り返すシミュレータです。χ² が合格ライン11.07を超える（＝公平なのに誤って棄却される）のは、どれくらいの頻度でしょうか。

第2章の分割表を覚えていますか。300人を「喫煙×肺疾患」で集計し、喫煙者の肺疾患率70% vs 非喫煙者10%、オッズ比21倍です。「関連が強そう」でした。でもあれは調べた300人にそういう差があったというだけです。関連が無くても、別の300人を調べればこれくらいの差が出ることはあります。母集団で関連があると言い切るには検定が要ります。ここで白黒をつけます。

① 仮説と期待度数：「独立なら何人のはずか」

$H_0$：「喫煙と肺疾患は独立（無関係）」／ $H_1$：「関連がある」です。
独立なら $P(\text{喫煙}\cap\text{肺疾患}) = P(\text{喫煙}) \times P(\text{肺疾患})$ です（第4章）。これを度数に直すと期待度数の公式になります：

例：喫煙者×肺疾患のマス → $E = \dfrac{100 \times 90}{300} = 30$ 人です。観測は70人です。40人分のズレが全マスにあります。

ここでひとつ、順番が引っかかります。
これまでに出てきた期待値・期待度数は、「期待」と付くだけあって観測する前から分かっている値でした。サイコロなら $\frac{1}{6}$、メンデルなら 9:3:3:1（2）。先に「こうなるはず」を決めておいて、あとから観測と見比べます。
ところがこの公式は、観測した表から行合計・列合計を取ってきて期待度数を作っています。観測が先に来てしまっていて、ワクワク感がありません。

理由は $H_0$ の中身にあります。「各目の確率は $\frac{1}{6}$」は値まで言い切っているので、観測を見ずに期待度数を作れました。いっぽう「喫煙と肺疾患は独立」が言っているのは掛け算の関係だけで、喫煙者が何割か・肺疾患が何割かは何も指定していません。足りない部分はデータから借りるしかありません。それが「周辺合計を使う」の正体です。

② 統計量と自由度

あとは適合度検定と同じ公式で、全マスのズレを合計するだけ：

なぜ $(r-1)(c-1)$ なのでしょうか。周辺合計（行の計・列の計）がすべて固定されているので、自由に決められるマスは左上の1つだけです。そこを決めれば、残り3マスは引き算で全部決まります：

③ 判定

$H_0$（独立）が正しければ、$\chi^2$ は自由度1のカイ二乗分布に従います（$2\times2$ 表なので $(2-1)(2-1)=1$）。自由度1の上側5%点は 3.84（1 の表）。これが合格ラインです。

ところでこの手順、2 の適合度検定とほとんど同じだったことに気づきます。実際、独立性検定は適合度検定の一種です。

④ 発展：カテゴリが「2択」のとき

ここまでの例は、サイコロ（6択）・喫煙×肺疾患（2×2）と、カテゴリ数がまちまちでした。じつはカテゴリが2択のときだけ、χ²検定は第8章の検定とまったく同じものになります。「2択もカテゴリデータなのに、なぜ第8章では比率の検定で済んだのか」という疑問への答えです。

χ²検定が答えるのは「関連があるか」の Yes/No だけです。実務で次に知りたいのは2つです。①どのマスがズレの犯人か（特に表が大きいとき）、②関連はどれくらい強いか、の2点です。それぞれに道具があります。

① 標準化残差：犯人のマスを特定する

喫煙×肺疾患の4マスで計算し、ヒートマップにすると（赤＝期待より多い／青＝期待より少ない、濃いほど大きなズレ）：

例：喫煙者×肺疾患 → $(70-30)/\sqrt{30} = +7.3$ です。4マスすべて $|2|$ 超え、最大の犯人は「喫煙者の肺疾患が期待より多すぎる」マスです。

② クラメールの V：関連の「強さ」を測る

第2章では、量的データどうしの関連の強さを相関係数（$-1$〜$1$）で測りました。カテゴリデータにも同じものが欲しいところです。独立（関連ゼロ）から完全連動（片方が決まればもう片方も決まる）までを、0〜1の1つの数で言えるようにしたいわけです。
ところが、いま手元にある「関連の量」は $\chi^2$ しかありません。そしてこれは物差しになりません。上限がなく、$n$ を10倍にすれば10倍になり、表が大きくなればさらに大きくなります。「114.3」と言われても、強いのか弱いのか判断できないのです。
そこでクラメールは、$\chi^2$ をその表で取りうる最大値で割ることを考えました。